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基于FlexPDE软件实现薛定谔方程求解的可视化[量子分子动力学之家]
基于FlexPDE软件实现薛定谔方程求解的可视化
 更新时间:2012/5/22 11:50:07  点击数:3503
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韦贝佩 本科生论文

广西师范大学,物理科学与技术学院

论文下载(http://www.imqmd.com/income/FlexPDE_wei.pdf

                                                            
内容摘要
 
1  引言. - 3 -
 
2  FlexPDE软件. - 6 -
2.1 FlexPDE软件简介. - 6 -
2.2 FlexPDE软件初始界面. - 6 -
2.3 新建FlexPDE脚本. - 8 -
2.3.1新建FlexPDE脚本操作. - 8 -
2.3.2新建FlexPDE脚本界面. - 8 -
2.3.3新建FlexPDE脚本程序介绍. - 9 -
2.3.4程序编写. - 11 -
2.4 打开和运行FlexPDE脚本. - 12 -
 
3  运用FlexPDE解薛定谔方程. - 14 -
3.1 一维线性谐振子. - 14 -
3.2 三维各项同性谐振子. - 18 -
3.4 三维Woods-Saxon势. - 21 -
 
4  总结与展望. - 22 -
 
参考文献. - 23 -
Abstract - 24 -
致  谢. - 25 -
 
对于微观世界的研究,离不开量子力学。量子力学是物理学专业学生的一门必修课,更是现代物理学的各个分支学科及相关的边缘学科的基础。量子力学中最核心的问题就是解决波函数如何随时间演化以及在各种具体情况下找出描述体系状态的各种可能的波函数【1】。薛定谔在1926年提出的波动方程(薛定谔方程)成功的解决了这个问题,因而我们学习量子力学要解决的一个关键问题就是求解薛定谔方程。薛定谔方程是量子力学的一个基本假定,并不能从什么比它更根本的假定来证明它,它的正确性只能靠实验来检验。薛定谔方程是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程,揭示了原子世界中物质运动的基本规律,每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式,通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量,从而了解微观系统的性质。
 
定态薛定谔方程的表达式为:
这是一个二阶线性偏微分方程,ψ(x,y,z)是待求函数,它是x,y,z三个变量的复数函数(就是说函数值不一定是实数,也可能是复数)。式子最左边的倒三角是一个二阶偏微分算符,意思是分别对ψ(x,y,z)的x,y,z坐标求偏导的平方和。式中的V(r)是代表势场,视实际问题而定的。要解薛定谔方程,仅仅给出势场的值是不够的,还需给出一定的边界条件。而实际问题中的边界条件是由波函数的性质(连续性、单值性、有限性)得出。例如在一维无限深势井中,在x=0和x=a处,我们可以认为波函数为零即粒子出现在势井外的概率几乎为零。若要用数学的方法解薛定谔方程,则不同类型的问题要用到不同的方法去解决。对于在一维无限深势井中求解薛定谔方程还是比较简便的,但是对于在其他势井中求解薛定谔方程,甚至增加到多维时,则求解过程将会比较复杂。例如在一维线性谐振子中求解此薛定谔方程时,需要用到Hermite方程,甚至Bessel方程等特殊方程;不仅如此,相应的图像我们根本不会画。另外,对于复杂系统,薛定谔方程的精确求解依然是量子力学中的一大难题。从而,对于初学者来说,学习量子力学时,将会感到非常困难和抽象。因为:①用数学方法求解薛定谔方程过程的复杂性;②不能结合图像来了解其中原理或进行实际分析;③不能预见性的知道求解结果如何。对于老师来说,在教授量子力学课程时,也只能按照教材的原理和加上个人的理解进行口头教学,而不能结合具体图像(特别是三维图像)来进行教学。同样,在其他学科领域中,我们也经常会遇到偏微分方程的求解和画图的问题。这往往是一项复杂的工程,也是我们学习和教学中的一个难点。所以我们需要寻找一个一般的高效的解决方案。
 
FlexPDE软件是使用有限元方法给出线性和非线性偏微分方程数值解的一个工具软件。它可以有效地解决上述问题(能很好的帮助我们解决这一问题)。运用FlexPDE软件,求解偏微分方程可以自动运行,可以得到想要的各种图形与结果,有利于我们进行学习和教学。
另外,运用FlexPDE解偏微分方程还具备以下优点:
1.求解速度快。当输入了完整的解决方案后,计算机可自动运行,整个过程可在短时间内完成。
2.程序编写简单。自动生成程序的主要部分,按照生成程序提示修改完整即可。程序语言也简单易懂。
3.程序的可移植性强。对于同类型问题,只要把程序稍作修改,问题即可迎刃而解,另外软件本身还提供了一些常用的运算函数。
4.求解结果明了易懂。计算机自动运行结果会以文字和图像的方式显示,让人容易获得其信息,且能帮助进行实际分析,实现可视化。
5.求解精确,精度可控性强。FlexPDE可提供误差分析,通过SELECT控件可以控制解决方案的误差范围。
 
我们可以容易找到英文版的FlexPDE说明书,可是中文版说明书目前很少,而且关于FlexPDE的文章也比较少。另外,在我找到的为数不多的几篇相关领域研究人员发表的基于FlexPDE的相关研究的论文或期刊中,虽涉及到FlexPDE,但文章中都只稍微介绍了一下FlexPDE,更多的是阐述具体应用方面的知识,而且大多数并没有说明怎样运用FlexPDE软件来实现相关研究的详细过程。基于以上现状,我们可以知道,目前会应用FlexPDE软件的人员不多,仅限于高知识水平的研究人员在使用。而对于一般知识水平,特别是英文不太好的人员来说,FlexPDE软件是比较难学的,所以不能普遍的应用到我们的学习和教学中。
 
基于以上困难,本文首先通过参阅了英文版的教程和相关文章,旨在使用中文的形式,说明FlexPDE软件的使用方法。然后重点阐明运用FlexPDE软件去求解量子力学中的薛定谔方程的具体过程及结合图像进行结果分析,从而使得省去了解微分方程的繁杂过程。目的是帮助大家学习这一软件,并很好的应用于学习和教学中,以及对薛定谔方程有进一步的深刻了解。
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